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第1题

考虑对黑板上正实数进行如下操作：选择黑板上的数 rr 并擦去，然后在黑板上写下一对满足 2r2=ab2r^2=ab 的正实数 aa 和 bb。开始时黑板上只有一个正实数 rr，进行 k2−1k^2-1 次操作后得到 k2k^2 个正实数，它们不必互异。证明黑板上存在一个不超过 krkr 的数。
第 4/4 步：得出结论
上一步下一步
k2s2≥Sk2−1≥1r2⟹s≤kr\frac{k^2}{s^2}\ge S_{k^2-1}\ge\frac1{r^2}\Longrightarrow s\le kr
详细分析

将最终总和的上界与其单调下界结合，得 k2/s2≥Sk2−1≥1/r2k^2/s^2\ge S_{k^2-1}\ge1/r^2。取正平方根得 s≤krs\le kr，所以黑板上存在不超过 krkr 的数。