第2题

设实数

a_1,a_2,a_3,a_4,a_5

满足对

k=1,2,3,4,5

有

\frac{a_1}{k^2+1}+\frac{a_2}{k^2+2}+\frac{a_3}{k^2+3}+\frac{a_4}{k^2+4}+\frac{a_5}{k^2+5}=\frac1{k^2}

。求

\frac{a_1}{37}+\frac{a_2}{38}+\frac{a_3}{39}+\frac{a_4}{40}+\frac{a_5}{41}

的值（用一个分数表示）。

第 2/5 步：消去分母

P(x)=\prod_{j=1}^{5}(x^2+j),\quad Q(x)=R(x)P(x)

详细分析

令 P(x)=(x^2+1)…(x^2+5)，Q(x)=R(x)P(x)。在 x=±k 处 Q(k)=P(k)/k^2，因此 P(x)−x^2Q(x) 在 ±1,±2,±3,±4,±5 处为零。