MathLabs

第3题

平面上给定三个两两不相交且彼此外部相离的圆 Γ1,Γ2,Γ3\Gamma_1,\Gamma_2,\Gamma_3。对平面上在三个圆外的每个点 PP，作六点 A1,B1,A2,B2,A3,B3A_1,B_1,A_2,B_2,A_3,B_3：对每个 i=1,2,3i=1,2,3，Ai,BiA_i,B_i 是 Γi\Gamma_i 上的不同点，且直线 PAiPA_i 和 PBiPB_i 都是 Γi\Gamma_i 的切线。若三直线 A1B1,A2B2,A3B3A_1B_1,A_2B_2,A_3B_3 共点，则称 PP 为特殊点。证明所有特殊点（若存在）都在同一个圆上。
第 4/5 步：确定相等的幂
上一步下一步
OOi2−ρ2=OiXi⋅OiP=ri2OO_i^2-\rho^2=O_iX_i\cdot O_iP=r_i^2
详细分析

由于 X_i 与 P 是直线 O_iP 和 Ω 的交点，O_iX_i·O_iP 是 O_i 关于 Ω 的幂。因此 OO_i^2−ρ^2=r_i^2，即 OO_i^2−r_i^2=ρ^2。