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第3题

平面上给定三个两两不相交且彼此外部相离的圆 Γ1,Γ2,Γ3\Gamma_1,\Gamma_2,\Gamma_3。对平面上在三个圆外的每个点 PP，作六点 A1,B1,A2,B2,A3,B3A_1,B_1,A_2,B_2,A_3,B_3：对每个 i=1,2,3i=1,2,3，Ai,BiA_i,B_i 是 Γi\Gamma_i 上的不同点，且直线 PAiPA_i 和 PBiPB_i 都是 Γi\Gamma_i 的切线。若三直线 A1B1,A2B2,A3B3A_1B_1,A_2B_2,A_3B_3 共点，则称 PP 为特殊点。证明所有特殊点（若存在）都在同一个圆上。
第 5/5 步：固定该圆
上一步下一步
Pow⁡Γ1(O)=Pow⁡Γ2(O)=Pow⁡Γ3(O)=ρ2\operatorname{Pow}_{\Gamma_1}(O)=\operatorname{Pow}_{\Gamma_2}(O)=\operatorname{Pow}_{\Gamma_3}(O)=\rho^2
详细分析

最后等式对 i=1,2,3 均成立，所以 O 是三个给定圆的根心，与特殊点 P 无关；共同幂 ρ^2 也固定。因此所有特殊点 P 都在以 O 为圆心、ρ 为半径的同一固定圆上。