第4题

证明对任意正整数

k

，存在一个有理数等差数列

\frac{a_1}{b_1},\frac{a_2}{b_2},\ldots,\frac{a_k}{b_k}

，其中对每个

i=1,2,\ldots,k

，

a_i,b_i

是互素的正整数，并且正整数

a_1,b_1,a_2,b_2,\ldots,a_k,b_k

全部互不相同。

第 2/5 步：约分每一项

\gcd(K^2+i,K)=i,\quad q_i=\frac{a_i}{b_i},\quad a_i=\frac{K^2+i}{i},\ b_i=\frac Ki

详细分析

因 i 整除 K 与 K^2，gcd(K^2+i,K)=gcd(i,K)=i。因此约分后的分子分母为 a_i=(K^2+i)/i 与 b_i=K/i，且是互素正整数。