第4题

证明对任意正整数

k

，存在一个有理数等差数列

\frac{a_1}{b_1},\frac{a_2}{b_2},\ldots,\frac{a_k}{b_k}

，其中对每个

i=1,2,\ldots,k

，

a_i,b_i

是互素的正整数，并且正整数

a_1,b_1,a_2,b_2,\ldots,a_k,b_k

全部互不相同。

第 3/5 步：区分分子与分母

1\le i<j\le k\Longrightarrow a_i=\frac{K^2}{i}+1>\frac{K^2}{j}+1=a_j,\quad b_i=\frac Ki>\frac Kj=b_j

详细分析

若 i<j，则 a_i=K^2/i+1>K^2/j+1=a_j，且 b_i=K/i>K/j=b_j。因此各 a_i 两两不同，各 b_i 也两两不同。