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第4题

证明对任意正整数 kk，存在一个有理数等差数列 a1b1,a2b2,…,akbk\frac{a_1}{b_1},\frac{a_2}{b_2},\ldots,\frac{a_k}{b_k}，其中对每个 i=1,2,…,ki=1,2,\ldots,k，ai,bia_i,b_i 是互素的正整数，并且正整数 a1,b1,a2,b2,…,ak,bka_1,b_1,a_2,b_2,\ldots,a_k,b_k 全部互不相同。
第 4/5 步：区分分子与分母
上一步下一步
ai≥K2k+1=K+1>K≥bja_i\ge\frac{K^2}{k}+1=K+1> K\ge b_j
详细分析

对所有 i，因 i≤k 有 a_i≥K^2/k+1=K+1。每个分母 b_j=K/j 不超过 K。因此没有分子等于任何分母。