亚太数学奥林匹克 · 2010年

试题

第1题设三角形 $ABC$ 满足 $\angle BAC\ne90^\circ$ 。 $O$ 为 $ABC$ 的外心， $\Gamma$ 为 $BOC$ 的外接圆。若 $\Gamma$ 与线段 $AB$ 交于 $P\ne B$ ，与 $AC$ 交于 $Q\ne C$ ，且 $ON$ 为 $\Gamma$ 的直径，证明四边形 $APNQ$ 是平行四边形。解法: 1
第2题对于正整数 $k$ ，若整数可写成某个整数 $m$ 的 $m^k$ ，称其为纯 $k$ 次幂。证明：对任意正整数 $n$ ，存在 $n$ 个互不相同的正整数，使它们的和是纯 $2009$ 次幂，乘积是纯 $2010$ 次幂。解法: 1
第3题 $n$ 为正整数。 $n$ 个人参加聚会，每一对人要么相识要么不相识。求不相识但在参加者中有共同熟人的点对数的最大值。解法: 1
第4题设锐角三角形 $ABC$ 满足 $AB>BC$ 且 $AC>BC$ 。令 $O,H$ 分别为其外心和垂心。三角形 $AHC$ 的外接圆再次与直线 $AB$ 交于 $M$ ，三角形 $AHB$ 的外接圆再次与直线 $AC$ 交于 $N$ 。证明三角形 $MNH$ 的外心在直线 $OH$ 上。解法: 1
第5题求所有函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ ，使得对任意 $x,y,z\in\mathbb R$ ，有 $f(f(x)+f(y)+f(z))=f(f(x)-f(y))+f(2xy+f(z))+2f(xz-yz)$ 。解法: 1