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2010年
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第5题
第5题
求所有函数
f
:
R
→
R
f:\mathbb R\to\mathbb R
f
:
R
→
R
，使得对任意
x
,
y
,
z
∈
R
x,y,z\in\mathbb R
x
,
y
,
z
∈
R
，有
f
(
f
(
x
)
+
f
(
y
)
+
f
(
z
)
)
=
f
(
f
(
x
)
−
f
(
y
)
)
+
f
(
2
x
y
+
f
(
z
)
)
+
2
f
(
x
z
−
y
z
)
f(f(x)+f(y)+f(z))=f(f(x)-f(y))+f(2xy+f(z))+2f(xz-yz)
f
(
f
(
x
)
+
f
(
y
)
+
f
(
z
))
=
f
(
f
(
x
)
−
f
(
y
))
+
f
(
2
x
y
+
f
(
z
))
+
2
f
(
x
z
−
y
z
)
。
第 5/8 步：每个纤维至多含两点
上一步
下一步
f
(
x
)
=
f
(
y
)
⟹
x
=
±
y
f(x)=f(y)\Longrightarrow x=\pm y
f
(
x
)
=
f
(
y
)
⟹
x
=
±
y
详细分析
本步骤利用假设和公式
x
,
y
x,y
x
,
y
、
x
≠
±
y
x\ne\pm y
x
=
±
y
、
f
(
r
x
)
=
f
(
x
)
f(rx)=f(x)
f
(
r
x
)
=
f
(
x
)
、
r
≠
1
r\ne1
r
=
1
、
f
f
f
，推出所述结论。
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