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2010年
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第5题
第5题
求所有函数
f
:
R
→
R
f:\mathbb R\to\mathbb R
f
:
R
→
R
，使得对任意
x
,
y
,
z
∈
R
x,y,z\in\mathbb R
x
,
y
,
z
∈
R
，有
f
(
f
(
x
)
+
f
(
y
)
+
f
(
z
)
)
=
f
(
f
(
x
)
−
f
(
y
)
)
+
f
(
2
x
y
+
f
(
z
)
)
+
2
f
(
x
z
−
y
z
)
f(f(x)+f(y)+f(z))=f(f(x)-f(y))+f(2xy+f(z))+2f(xz-yz)
f
(
f
(
x
)
+
f
(
y
)
+
f
(
z
))
=
f
(
f
(
x
)
−
f
(
y
))
+
f
(
2
x
y
+
f
(
z
))
+
2
f
(
x
z
−
y
z
)
。
第 8/8 步：验证
上一步
下一步
f
≡
0
or
f
(
x
)
=
x
2
f\equiv0\quad\text{or}\quad f(x)=x^2
f
≡
0
or
f
(
x
)
=
x
2
详细分析
本步骤利用假设和公式
f
(
x
)
=
x
2
f(x)=x^2
f
(
x
)
=
x
2
，推出所述结论。
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