亚太数学奥林匹克 · 2011年

试题

第1题设 $a,b,c$ 为正整数。证明 $a^2+b+c$ 、 $b^2+c+a$ 、 $c^2+a+b$ 不可能同时都是完全平方数。解法: 1
第2题平面上有五点 $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5$ ，任意三点不共线。求所有互不相同的 $i,j,k$ 对应的角 $\angle A_iA_jA_k$ 的最小值的最大可能值。解法: 1
第3题设锐角三角形 $ABC$ 满足 $\angle BAC=30^\circ$ 。 $\angle ABC$ 的内外角平分线与直线 $AC$ 交于 $B_1,B_2$ ， $\angle ACB$ 的内外角平分线与直线 $AB$ 交于 $C_1,C_2$ 。以 $B_1B_2$ 、 $C_1C_2$ 为直径的圆在三角形内部交于 $P$ 。证明 $\angle BPC=90^\circ$ . $ABC$ 解法: 1
第4题固定正奇数 $n$ 。在坐标平面取 $m+2$ 个互不相同的点 $P_0,P_1,\ldots,P_{m+1}$ ，满足：(1) $P_0=(0,1)$ 、 $P_{m+1}=(n+1,n)$ ，且 $1\le i\le m$ 时 $P_i$ 的两个坐标都是 $1$ 到 $n$ 的整数；(2) $0\le i\le m$ 时，若 $i$ 偶数则线段 $P_iP_{i+1}$ 平行于 $x$ 轴，若 $i$ 奇数则平行于 $y$ 轴；(3) $0\le i<j\le m$ 时，两线段至多有一个公共点。求 $m$ 的最大值。 $P_iP_{i+1}$ $P_jP_{j+1}$ 解法: 1
第5题求所有上有界函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ ，使其对任意实数 $x,y$ 满足 $f(xf(y))+yf(x)=xf(y)+f(xy)$ 。解法: 1