第4题

固定正奇数

n

。在坐标平面取

m+2

个互不相同的点

P_0,P_1,\ldots,P_{m+1}

，满足：(1)

P_0=(0,1)

、

P_{m+1}=(n+1,n)

，且

1\le i\le m

时

P_i

的两个坐标都是

1

到

n

的整数；(2)

0\le i\le m

时，若

i

偶数则线段

P_iP_{i+1}

平行于

x

轴，若

i

奇数则平行于

y

轴；(3)

0\le i<j\le m

时，两线段至多有一个公共点。求

m

的最大值。

P_iP_{i+1}

P_jP_{j+1}

第 5/5 步：计数并结论

上一步下一步

m=n(n-1)

详细分析

内部路径贡献 $(n-4)(n-5)$ 个转折点，外框贡献 $n^2-(n-4)^2-4$ ; 它们的和为 $n(n-1)$ . 结合上界, 即得最大值.