MathLabs

亚太数学奥林匹克 · 2012年

试题

  1. 第1题设点P在三角形ABC的内部。令D、E、F分别为AP与BC、BP与CA、CP与AB的交点。若三角形PFA、PDB和PEC的面积都为1，证明三角形ABC的面积为6。解法: 1
  2. 第2题在2012×2012方格的每个小格中填入一个介于0和1（含端点）的实数。用一条平行于方格边的直线把方格分成两个非空的矩形格块。假设对任意这种分割，所得两个矩形中至少有一个的数字和不超过1。求所有填入数字总和的最大值。解法: 1
  3. 第3题求出所有数对(p,n)，其中p为素数、n为正整数，并且(n^p+1)/(p^n+1)为整数。解法: 1
  4. 第4题设ABC为锐角三角形。令D为从A向BC作垂线的垂足，M为BC中点，H为ABC的垂心。设ABC的外接圆Gamma与射线MH交于E，直线ED与Gamma的另一个交点为F。记线段长度为XY，证明BF/CF=AB/AC。解法: 1
  5. 第5题设n为不小于2的整数。证明：若实数a_1、a_2、...、a_n满足a_1^2+a_2^2+...+a_n^2=n，则对所有1≤i<j≤n，1/(n-a_i a_j)的和不超过n/2。解法: 1