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第3题

求出所有数对(p,n)，其中p为素数、n为正整数，并且(n^p+1)/(p^n+1)为整数。
第 4/7 步：导出同余式
上一步下一步
p≥3⟹n is odd,p+1∣pn+1 and np+1,n2p≡1(modp+1).p\ge3\Longrightarrow n\text{ is odd},\quad p+1\mid p^n+1\text{ and }n^p+1,\quad n^{2p}\equiv1\pmod{p+1}.
详细分析

整除条件中的两个分子都为偶数，所以n为奇数。奇数次幂加1被底数加1整除，故p+1同时整除两个分子。因此n的p次幂模p+1为−1，而2p次幂模p+1为1。