MathLabs

第3题

求出所有数对(p,n)，其中p为素数、n为正整数，并且(n^p+1)/(p^n+1)为整数。
第 5/7 步：确定阶
上一步下一步
e=ord⁡p+1(n)∣2p,e∈{1,2,p,2p},e=2.e=\operatorname{ord}_{p+1}(n)\mid2p,\quad e\in\{1,2,p,2p\},\quad e=2.
详细分析

令e为满足n^e≡1（模p+1）的最小正整数。将2p除以e并用最小性得e|2p。e=1或p与n^p≡−1矛盾；由欧拉定理及φ(p+1)<2p排除e=2p，故e=2。