MathLabs

第5题

设n为不小于2的整数。证明：若实数a_1、a_2、...、a_n满足a_1^2+a_2^2+...+a_n^2=n，则对所有1≤i<j≤n，1/(n-a_i a_j)的和不超过n/2。
第 2/6 步：化为非负变量
上一步下一步
bi=∣ai∣:∑bi2=n,∑i<j1n−aiaj≤∑i<j1n−bibj.b_i=|a_i|:\quad\sum b_i^2=n,\quad\sum_{i<j}\frac1{n-a_i a_j}\le\sum_{i<j}\frac1{n-b_i b_j}.
详细分析

由于a_i a_j≤b_i b_j，且函数x↦1/(n-x)在所考虑范围递增，把变量换成绝对值只会增大左边。因此只需考虑所有变量非负。