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亚太数学奥林匹克
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2012年
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第5题
第5题
设n为不小于2的整数。证明：若实数a_1、a_2、...、a_n满足a_1^2+a_2^2+...+a_n^2=n，则对所有1≤i<j≤n，1/(n-a_i a_j)的和不超过n/2。
第 3/6 步：估计一对变量
上一步
下一步
a
i
a
j
n
−
a
i
a
j
≤
1
2
(
a
i
+
a
j
)
2
n
−
(
a
i
2
+
a
j
2
)
/
2
.
\frac{a_i a_j}{n-a_i a_j}\le\frac12\frac{(a_i+a_j)^2}{n-(a_i^2+a_j^2)/2}.
n
−
a
i
a
j
a
i
a
j
≤
2
1
n
−
(
a
i
2
+
a
j
2
)
/2
(
a
i
+
a
j
)
2
.
详细分析
当a_i、a_j非负时，使用a_i a_j≤(a_i+a_j)^2/4以及n-a_i a_j≥n-(a_i^2+a_j^2)/2，合并即得所示估计。
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