第5题

设n为不小于2的整数。证明：若实数a_1、a_2、...、a_n满足a_1^2+a_2^2+...+a_n^2=n，则对所有1≤i<j≤n，1/(n-a_i a_j)的和不超过n/2。

第 4/6 步：应用柯西不等式

\frac{(a_i+a_j)^2}{n-(a_i^2+a_j^2)/2}\le\frac{a_i^2}{n-a_i^2}+\frac{a_j^2}{n-a_j^2}.

详细分析

对正权重n-a_i^2和n-a_j^2应用柯西不等式得到第二个不等式。若某个a_i^2=n，则平方和条件迫使其余变量全为0，所需不等式立即成立；否则所有这些权重均为正。