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第5题

设n为不小于2的整数。证明：若实数a_1、a_2、...、a_n满足a_1^2+a_2^2+...+a_n^2=n，则对所有1≤i<j≤n，1/(n-a_i a_j)的和不超过n/2。
第 5/6 步：对所有数对求和
上一步下一步
∑i<jaiajn−aiaj≤12∑i≠jai2n−aj2=12∑j=1nn−aj2n−aj2=n2.\sum_{i<j}\frac{a_i a_j}{n-a_i a_j}\le\frac12\sum_{i\ne j}\frac{a_i^2}{n-a_j^2}=\frac12\sum_{j=1}^n\frac{n-a_j^2}{n-a_j^2}=\frac n2.
详细分析

对每一对的估计求和。按分母下标j重新排列双重和时，i≠j的分子和为n-a_j²，结果为n/2。