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第5题

设n为不小于2的整数。证明：若实数a_1、a_2、...、a_n满足a_1^2+a_2^2+...+a_n^2=n，则对所有1≤i<j≤n，1/(n-a_i a_j)的和不超过n/2。
第 6/6 步：还原倒数和
上一步下一步
1n−aiaj=1n(1+aiajn−aiaj),∑i<j1n−aiaj≤n−12+12=n2.\frac1{n-a_i a_j}=\frac1n\left(1+\frac{a_i a_j}{n-a_i a_j}\right),\quad \sum_{i<j}\frac1{n-a_i a_j}\le\frac{n-1}{2}+\frac12=\frac n2.
详细分析

使用n/(n-a_i a_j)=1+a_i a_j/(n-a_i a_j)。共有n(n-1)/2个数对，结合前面的估计即得左边不超过n/2。