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2013年
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第2题
第2题
求所有正整数n，使得(n^2+1)/(floor(sqrt(n))^2+2)为整数。这里floor(r)表示不超过r的最大整数。
第 3/6 步：限制可能的商
上一步
下一步
0
<
(
a
−
2
)
2
+
1
<
4
(
m
2
+
2
)
⟹
(
a
−
2
)
2
+
1
=
k
(
m
2
+
2
)
,
k
∈
{
1
,
2
,
3
}
.
0<(a-2)^2+1<4(m^2+2)\Longrightarrow (a-2)^2+1=k(m^2+2),\quad k\in\{1,2,3\}.
0
<
(
a
−
2
)
2
+
1
<
4
(
m
2
+
2
)
⟹
(
a
−
2
)
2
+
1
=
k
(
m
2
+
2
)
,
k
∈
{
1
,
2
,
3
}
.
详细分析
由0≤a≤2m，分子不超过max{4,(2m−2)²}+1≤4m²+1<4(m²+2)。它为正，所以除以m²+2所得商只能是1、2或3。
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