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亚太数学奥林匹克
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2013年
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第2题
第2题
求所有正整数n，使得(n^2+1)/(floor(sqrt(n))^2+2)为整数。这里floor(r)表示不超过r的最大整数。
第 5/6 步：排除k=2
上一步
下一步
k
=
2
:
(
a
−
2
)
2
+
1
≡
1
,
2
,
5
(
m
o
d
8
)
,
2
(
m
2
+
2
)
≡
4
,
6
(
m
o
d
8
)
.
k=2:\quad(a-2)^2+1\equiv1,2,5\pmod8,\quad2(m^2+2)\equiv4,6\pmod8.
k
=
2
:
(
a
−
2
)
2
+
1
≡
1
,
2
,
5
(
mod
8
)
,
2
(
m
2
+
2
)
≡
4
,
6
(
mod
8
)
.
详细分析
平方数模8只能为0、1、4，故左边模8只能为1、2、5。因m²模4为0或1，右边模8为4或6。二者不可能相等。
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