MathLabs

第3题

给定2k个实数a_1,...,a_k,b_1,...,b_k，定义X_n=Σ（i从1到k）floor(a_i n+b_i)（n=1,2,...）。若数列X_n为等差数列，证明Σ（i从1到k）a_i为整数。这里floor(r)表示不超过r的最大整数。
第 5/5 步：令n增大
上一步下一步
∣A−d∣<kn for every n≥1⟹A=d∈Z.|A-d|<\frac{k}{n}\text{ for every }n\ge1\Longrightarrow A=d\in\mathbb Z.
详细分析

该不等式对每个正整数n都成立，所以左边必须为0。故A=d，而d为整数，因此所求Σa_i为整数。