第1题

对正整数

m

，分别以

S(m)

和

P(m)

表示

m

的各位数字之和与数字之积。证明：对每个正整数

n

，存在正整数

a_1,a_2,\ldots,a_n

，满足

S(a_1)<S(a_2)<\cdots<S(a_n)

且当

i=1,2,\ldots,n

时

S(a_i)=P(a_{i+1})

，其中

a_{n+1}=a_1

。

第 1/3 步：构造中间各数

a_i:\;2\text{ occurs }k+i-2\text{ times},\quad 1\text{ occurs }2^{k+i-1}-2(k+i-2)\text{ times}\quad(2\le i\le n)

详细分析

取充分大的正整数 k。对从 2 到 n 的每个指标，让 a_i 只含数字 2 和 1，出现次数如式所示。k 足够大时，数字 1 的个数非负。