第1题

对正整数

m

，分别以

S(m)

和

P(m)

表示

m

的各位数字之和与数字之积。证明：对每个正整数

n

，存在正整数

a_1,a_2,\ldots,a_n

，满足

S(a_1)<S(a_2)<\cdots<S(a_n)

且当

i=1,2,\ldots,n

时

S(a_i)=P(a_{i+1})

，其中

a_{n+1}=a_1

。

第 3/3 步：闭合循环

a_1:\;2\text{ occurs }k+n-1\text{ times},\quad 1\text{ occurs }2^k-2(k+n-1)\text{ times}

详细分析

取具有所示位数的 $a_1$ ；只要 $2^k>2(k+n-1)$ 就能做到。此时 $S(a_1)=2^k$ 且 $P(a_1)=2^{k+n-1}$ 。于是各位和严格递增，每个 $S(a_i)$ 等于下一个数字积，并且 $S(a_n)=P(a_1)$ ，全部条件成立。