若 p 模四余三，令 C 为零与所有二次剩余组成的集合。x^2+x+1 恰有 (p+1)/2 个不同值，因此正好是零和 C 的全部元素。把每个平方写成 (2w+1)^2 可知 C 对加三封闭；因 p 不等于三，这将迫使所有剩余都属于 C，矛盾。因此存在 x 使 x^2+x+1 为非二次剩余。负平方恰好遍历非二次剩余，故可取非零 a,b 使 a^2+ab+b^2=-1。若 a=b，则换成 2a 与 -a 得到不同的一对；否则由因式分解得到所需的碰撞。