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第5题

圆 ω\omega 与 Ω\Omega 交于 AA 和 BB。设 MM 是圆 ω\omega 上弧 ABAB 的中点(MM 在 Ω\Omega 内部)。圆 ω\omega 的弦 MPMP 与 Ω\Omega 交于 QQ(QQ 在 ω\omega 内部)。设 ℓP\ell_P 是 ω\omega 在 PP 处的切线,ℓQ\ell_Q 是 Ω\Omega 在 QQ 处的切线。证明由 ℓP\ell_P、ℓQ\ell_Q 和 ABAB 三直线构成的三角形的外接圆与 Ω\Omega 相切。
第 3/4 步:确定位似中心
D=XR∩Ω,XF2=XP2=XA⋅XB=XD⋅XRD=XR\cap\Omega,\quad XF^2=XP^2=XA\cdot XB=XD\cdot XR
详细分析

令 D 为 XR 与 Ω 的第二交点。由 X 的幂得到公式中的等式,于是三角形 XDF 与 XFR 相似,进而得角关系说明 D、Y、Q、F 共圆。由此圆周角可知 Y、D、S 共线,所以 D 是位似中心。