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2015年
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第2题
第2题
令
S
=
{
2
,
3
,
4
,
…
}
S=\{2,3,4,\ldots\}
S
=
{
2
,
3
,
4
,
…
}
为不小于
2
2
2
的整数集合。是否存在函数
f
:
S
→
S
f:S\to S
f
:
S
→
S
，使得对所有
a
,
b
∈
S
a,b\in S
a
,
b
∈
S
且
a
≠
b
a\ne b
a
=
b
，都有
f
(
a
)
f
(
b
)
=
f
(
a
2
b
2
)
f(a)f(b)=f(a^2b^2)
f
(
a
)
f
(
b
)
=
f
(
a
2
b
2
)
？
第 2/4 步：令比值为常数
上一步
下一步
f
(
a
2
)
f
(
a
)
=
f
(
b
2
)
f
(
b
)
=
k
>
0
,
f
(
a
b
)
=
f
(
a
)
f
(
b
)
k
\frac{f(a^2)}{f(a)}=\frac{f(b^2)}{f(b)}=k>0,\qquad f(ab)=\frac{f(a)f(b)}k
f
(
a
)
f
(
a
2
)
=
f
(
b
)
f
(
b
2
)
=
k
>
0
,
f
(
ab
)
=
k
f
(
a
)
f
(
b
)
详细分析
第一个关系表明平方比与输入无关，记为 k。把平方关系代入原条件，在 a、b 不同的时候得到第二个等式。
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