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2015年
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第2题
第2题
令
S
=
{
2
,
3
,
4
,
…
}
S=\{2,3,4,\ldots\}
S
=
{
2
,
3
,
4
,
…
}
为不小于
2
2
2
的整数集合。是否存在函数
f
:
S
→
S
f:S\to S
f
:
S
→
S
，使得对所有
a
,
b
∈
S
a,b\in S
a
,
b
∈
S
且
a
≠
b
a\ne b
a
=
b
，都有
f
(
a
)
f
(
b
)
=
f
(
a
2
b
2
)
f(a)f(b)=f(a^2b^2)
f
(
a
)
f
(
b
)
=
f
(
a
2
b
2
)
？
第 3/4 步：迫使所有值等于 k
上一步
下一步
f
(
a
)
f
(
a
2
)
=
f
(
a
6
)
=
f
(
a
)
f
(
a
5
)
k
=
f
(
a
)
2
f
(
a
4
)
k
2
=
f
(
a
)
2
f
(
a
2
)
k
f(a)f(a^2)=f(a^6)=\frac{f(a)f(a^5)}k=\frac{f(a)^2f(a^4)}{k^2}=\frac{f(a)^2f(a^2)}k
f
(
a
)
f
(
a
2
)
=
f
(
a
6
)
=
k
f
(
a
)
f
(
a
5
)
=
k
2
f
(
a
)
2
f
(
a
4
)
=
k
f
(
a
)
2
f
(
a
2
)
详细分析
沿公式所示的幂次链应用这些等式。约去正因子即得对 S 中每个 a 都有 f(a)=k。
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