MathLabs

第4题

设 nn 为正整数。平面上有 2n2n 条互不相同且任意两条不平行的直线。在这 2n2n 条直线中，nn 条染蓝色，其余 nn 条染红色。令 BB 为至少在一条蓝线上的所有点的集合，令 RR 为至少在一条红线上的所有点的集合。证明存在一个圆，与 BB 恰交于 2n−12n-1 个点，并且与 RR 也恰交于 2n−12n-1 个点。
第 3/4 步：构造圆
上一步下一步
C tangent to ℓk,ℓk+1 and x=aC\text{ tangent to }\ell_k,\ell_{k+1}\text{ and }x=a
详细分析

取圆 C 与 R 的右边及所选两条直线都相切。每条其他直线在 R 内与所选两线相交。它不可能穿过 R 的两条水平边，否则其方向会位于所选两方向之间；因此它穿过两条竖直边。