第5题

求所有满足

a_0\ge2015

的正整数列

a_0,a_1,a_2,\ldots

，使对每个整数

n\ge1

：(i)

a_{n+2}

被

a_n

整除；(ii)

|s_{n+1}-(n+1)a_n|=1

，其中

s_{n+1}=a_{n+1}-a_n+a_{n-1}-\cdots+(-1)^{n+1}a_0

。

第 3/5 步：利用锐利界与整除性

(n^2+5n+3)a_n<a_{n+2}<(n^2+5n+5)a_n\Longrightarrow a_{n+2}=(n+1)(n+4)a_n\quad(n\ge4)

详细分析

两次代入递推式并使用下界，得到严格不等式。由于 $a_n$ 整除 $a_{n+2}$ ，商是位于两个相邻整数系数之间的整数，只能是 $n^2+5n+4$ ，正好分解为公式形式。