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第5题

求所有满足 a0≥2015a_0\ge2015 的正整数列 a0,a1,a2,…a_0,a_1,a_2,\ldots，使对每个整数 n≥1n\ge1：(i) an+2a_{n+2} 被 ana_n 整除；(ii) ∣sn+1−(n+1)an∣=1|s_{n+1}-(n+1)a_n|=1，其中 sn+1=an+1−an+an−1−⋯+(−1)n+1a0s_{n+1}=a_{n+1}-a_n+a_{n-1}-\cdots+(-1)^{n+1}a_0。
第 4/5 步：强制一步比值
上一步下一步
an+1=(n+1)(n+3)n+2an(n≥1)a_{n+1}=\frac{(n+1)(n+3)}{n+2}a_n\quad(n\ge1)
详细分析

在相邻指标使用前面的两步恒等式并与原递推比较，得 n 至少四时误差项为零，从而得到公式中的比值。若最初三个指标之一不满足该比值，取最大的一个，整除关系将迫使 a_m 整除不超过 14 的数，与下界矛盾。因此比值对每个 n 至少一都成立。