MathLabs

第5题

求所有满足 a0≥2015a_0\ge2015 的正整数列 a0,a1,a2,…a_0,a_1,a_2,\ldots，使对每个整数 n≥1n\ge1：(i) an+2a_{n+2} 被 ana_n 整除；(ii) ∣sn+1−(n+1)an∣=1|s_{n+1}-(n+1)a_n|=1，其中 sn+1=an+1−an+an−1−⋯+(−1)n+1a0s_{n+1}=a_{n+1}-a_n+a_{n-1}-\cdots+(-1)^{n+1}a_0。
第 5/5 步：确定并验证两族
上一步下一步
an=c(n+2)n!(n≥1),a0=c+1 or c−1a_n=c(n+2)n!\quad(n\ge1),\qquad a_0=c+1\text{ or }c-1
详细分析

n=1 时的比值说明 a_1 是三的倍数，写成 a_1=3c 并归纳得到公式。n=1 的条件给出 a_0=c 加减一。由 a_0 下界，前者 c 至少 2014，后者 c 至少 2016。最后利用交错和的阶乘恒等式验证两族。