亚太数学奥林匹克 · 2016年

试题

第1题称三角形 $ABC$ 是「great」的，如果满足：对边 $BC$ 上任意一点 $D$ ，设 $P$ 、 $Q$ 分别是 $D$ 到直线 $AB$ 、 $AC$ 的垂足，则 $D$ 关于直线 $PQ$ 的对称点都落在三角形 $ABC$ 的外接圆上。证明：三角形 $ABC$ 是 great 的，当且仅当 $\angle A=90^\circ$ 且 $AB=AC$ 。解法: 1
第2题若正整数可写成 $2^{a_1}+2^{a_2}+\cdots+2^{a_{100}}$ 的形式（其中 $a_1,a_2,\ldots,a_{100}$ 是不必互异的非负整数），则称其为「fancy」数。求最小的正整数 $n$ ，使得 $n$ 的任何倍数都不是 fancy 数。解法: 1
第3题设 $AB$ 、 $AC$ 是不共线的两条不同射线， $\omega$ 是以 $O$ 为圆心、在 $E$ 处与射线 $AC$ 相切、在 $F$ 处与射线 $AB$ 相切的圆。设 $R$ 为线段 $EF$ 上一点。过 $O$ 且平行于 $EF$ 的直线与直线 $AB$ 交于 $P$ 。设 $N$ 为直线 $PR$ 与 $AC$ 的交点， $M$ 为直线 $AB$ 与过 $R$ 平行于 $AC$ 的直线的交点。证明直线 $MN$ 与 $\omega$ 相切。解法: 1
第4题梦幻国由 $2016$ 个城市组成。星际航空公司想在城市对之间设立若干单向航班，使得每个城市恰好有一班出发航班。求最小的正整数 $k$ ，使得无论星际航空公司如何设立航班，都总能把这些城市划分成 $k$ 组，使得从任一城市出发，无法用至多 $28$ 次航班到达同一组中的另一城市。解法: 1
第5题求所有函数 $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ ，使得对所有正实数 $x,y,z$ 都有 $(z+1)f(x+y)=f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x)$ 。解法: 1