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第1题

称三角形 ABCABC 是「great」的，如果满足：对边 BCBC 上任意一点 DD，设 PP、QQ 分别是 DD 到直线 ABAB、ACAC 的垂足，则 DD 关于直线 PQPQ 的对称点都落在三角形 ABCABC 的外接圆上。证明：三角形 ABCABC 是 great 的，当且仅当 ∠A=90∘\angle A=90^\circ 且 AB=ACAB=AC。
第 3/5 步：角度追踪迫使 ∠A=90∘\angle A=90^\circ
上一步下一步
∠PD′Q=∠PDQ=180∘−∠BAC,∠PD′Q=∠BAC  ⟹  ∠BAC=90∘\angle PD'Q=\angle PDQ=180^\circ-\angle BAC,\quad \angle PD'Q=\angle BAC \implies \angle BAC=90^\circ
详细分析

关于 PQPQ 的对称保持角度，故 ∠PD′Q=∠PDQ\angle PD'Q=\angle PDQ；又因 APDQAPDQ 内接于圆且在 PP、QQ 处为直角，故 ∠PDQ=180∘−∠BAC\angle PDQ=180^\circ-\angle BAC。而 D′=AD'=A 给出 ∠PD′Q=∠PAQ=∠BAC\angle PD'Q=\angle PAQ=\angle BAC。结合 ∠PD′Q\angle PD'Q 的两个表达式即得 ∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ。