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第1题

称三角形 ABCABC 是「great」的，如果满足：对边 BCBC 上任意一点 DD，设 PP、QQ 分别是 DD 到直线 ABAB、ACAC 的垂足，则 DD 关于直线 PQPQ 的对称点都落在三角形 ABCABC 的外接圆上。证明：三角形 ABCABC 是 great 的，当且仅当 ∠A=90∘\angle A=90^\circ 且 AB=ACAB=AC。
第 4/5 步：取 BCBC 中点迫使 AB=ACAB=AC
上一步下一步
D=midpoint of BC, ∠BAC=90∘  ⟹  PQ∥BC, DD′⊥BC  ⟹  D′=A  ⟹  AB=ACD=\text{midpoint of }BC,\ \angle BAC=90^\circ \implies PQ\parallel BC,\ DD'\perp BC \implies D'=A \implies AB=AC
详细分析

现在改取 DD 为 BCBC 的中点。由于 ∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ，以这个新的 DD 所作垂足 PP、QQ 构成的三角形 DQPDQP 是 ABCABC 的中点三角形，因此 PQPQ 平行于 BCBC，从而 DD′DD' 垂直于 BCBC。D′D' 到 BCBC 的距离既等于 ABCABC 外接圆的半径，也等于 AA 到 BCBC 的距离；这就迫使 D′=AD'=A，而这只有在 ABCABC 是等腰三角形，即 AB=ACAB=AC 时才可能。结合 ∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ，这证明了必要方向。