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第1题

称三角形 ABCABC 是「great」的，如果满足：对边 BCBC 上任意一点 DD，设 PP、QQ 分别是 DD 到直线 ABAB、ACAC 的垂足，则 DD 关于直线 PQPQ 的对称点都落在三角形 ABCABC 的外接圆上。证明：三角形 ABCABC 是 great 的，当且仅当 ∠A=90∘\angle A=90^\circ 且 AB=ACAB=AC。
第 5/5 步：充分性：直角等腰三角形是 great 的
上一步下一步
∠BAC=90∘, AB=AC  ⟹  ∠BD′C=∠PDQ=90∘\angle BAC=90^\circ,\ AB=AC \implies \angle BD'C=\angle PDQ=90^\circ
详细分析

反过来，设 ∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ 且 AB=ACAB=AC，取 DD 为 BCBC 上任意一点，PP、QQ 为其在 ABAB、ACAC 上的投影，D′D' 为 DD 关于 PQPQ 的对称点。由于 D′P=DP=BPD'P=DP=BP 且 D′Q=DQ=CQD'Q=DQ=CQ，且 APDQD′APDQD' 在以 PQPQ 为直径的圆上，可得 ∠BPD′=∠CQD′\angle BPD'=\angle CQD'，从而三角形 D′PBD'PB 与 D′QCD'QC 相似；由此得到 ∠PD′Q=∠BD′C\angle PD'Q=\angle BD'C，又因三角形 DPQDPQ 与 D′PQD'PQ 全等，故 ∠BD′C=∠PDQ=90∘\angle BD'C=\angle PDQ=90^\circ。因此 D′D' 落在以 BCBC 为直径的圆上，而这正是直角等腰三角形 ABCABC 的外接圆，从而证明了 ABCABC 是 great 的。