第2题

若正整数可写成

2^{a_1}+2^{a_2}+\cdots+2^{a_{100}}

的形式（其中

a_1,a_2,\ldots,a_{100}

是不必互异的非负整数），则称其为「fancy」数。求最小的正整数

n

，使得

n

的任何倍数都不是 fancy 数。

第 1/5 步：给出答案

上一步下一步

n=2^{101}-1

详细分析

断言是：每个满足 $1\le k<2^{101}-1$ 的正整数 $k$ 都存在某个 fancy 倍数，而 $n=2^{101}-1$ 的任何倍数都不是 fancy 的。将 $k$ 写成二进制形式最多用到 $100$ 个为一的位，因此对某个 $r\le100$ 有 $k=2^{a_1}+\cdots+2^{a_r}$ 。