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第3题

设 ABAB、ACAC 是不共线的两条不同射线，ω\omega 是以 OO 为圆心、在 EE 处与射线 ACAC 相切、在 FF 处与射线 ABAB 相切的圆。设 RR 为线段 EFEF 上一点。过 OO 且平行于 EFEF 的直线与直线 ABAB 交于 PP。设 NN 为直线 PRPR 与 ACAC 的交点，MM 为直线 ABAB 与过 RR 平行于 ACAC 的直线的交点。证明直线 MNMN 与 ω\omega 相切。
第 2/5 步：辅助圆与第一组相似三角形
上一步下一步
Q=PO∩AC, Y=PO∩⊙(AM′O),∠AYM′=∠AOM′=90∘−∠M′OP,∠EOQ=∠FOP=∠M′AO=∠M′YPQ=PO\cap AC,\ Y=PO\cap\odot(AM'O),\quad \angle AYM'=\angle AOM'=90^\circ-\angle M'OP,\quad \angle EOQ=\angle FOP=\angle M'AO=\angle M'YP
详细分析

设 Q=PO∩ACQ=PO\cap AC，并设 YY 为直线 POPO 与 △AM′O\triangle AM'O 外接圆的第二个交点；注意 ∠AOM′=90∘−∠M′OP\angle AOM'=90^\circ-\angle M'OP，因为 OAOA 平分两条切线半径所夹的角。绕 OO 追角可得 ∠EOQ=∠FOP=∠M′AO=∠M′YP\angle EOQ=\angle FOP=\angle M'AO=\angle M'YP，同理 ∠EQO=∠M′PY\angle EQO=\angle M'PY，故 △M′YP∼△EOQ\triangle M'YP\sim\triangle EOQ。