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第3题

设 ABAB、ACAC 是不共线的两条不同射线，ω\omega 是以 OO 为圆心、在 EE 处与射线 ACAC 相切、在 FF 处与射线 ABAB 相切的圆。设 RR 为线段 EFEF 上一点。过 OO 且平行于 EFEF 的直线与直线 ABAB 交于 PP。设 NN 为直线 PRPR 与 ACAC 的交点，MM 为直线 ABAB 与过 RR 平行于 ACAC 的直线的交点。证明直线 MNMN 与 ω\omega 相切。
第 3/5 步：计算 OO 处的半角
上一步下一步
∠M′OP=∠M′OF+∠FOP=90∘−12∠XOE,∠AYM′=12∠XOE=∠NOE\angle M'OP=\angle M'OF+\angle FOP=90^\circ-\tfrac12\angle XOE,\quad \angle AYM'=\tfrac12\angle XOE=\angle NOE
详细分析

由 2∠M′OP=∠FOX+∠FOP+∠EOQ=180∘−∠XOE2\angle M'OP=\angle FOX+\angle FOP+\angle EOQ=180^\circ-\angle XOE 得 ∠M′OP=90∘−12∠XOE\angle M'OP=90^\circ-\tfrac12\angle XOE。因为 ∠AYM′\angle AYM' 与 ∠M′OP\angle M'OP 互余，故 ∠AYM′=12∠XOE=∠NOE\angle AYM'=\tfrac12\angle XOE=\angle NOE，于是 AA 与 NN 是 △M′YP\triangle M'YP 与 △EOQ\triangle EOQ 相似对应下的对应点。