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第3题

设 ABAB、ACAC 是不共线的两条不同射线，ω\omega 是以 OO 为圆心、在 EE 处与射线 ACAC 相切、在 FF 处与射线 ABAB 相切的圆。设 RR 为线段 EFEF 上一点。过 OO 且平行于 EFEF 的直线与直线 ABAB 交于 PP。设 NN 为直线 PRPR 与 ACAC 的交点，MM 为直线 ABAB 与过 RR 平行于 ACAC 的直线的交点。证明直线 MNMN 与 ω\omega 相切。
第 4/5 步：导出平行所需的比例
上一步下一步
AM′M′P=NEEQ=NRRP  ⟹  M′R∥AC\frac{AM'}{M'P}=\frac{NE}{EQ}=\frac{NR}{RP} \implies M'R\parallel AC
详细分析

由于 AA 与 NN 在 △M′YP\triangle M'YP 与 △EOQ\triangle EOQ 的相似下对应，经过它们的边成比例：AM′M′P=NEEQ\dfrac{AM'}{M'P}=\dfrac{NE}{EQ}。因为 RR 在线段 EFEF 上且 PO∥EFPO\parallel EF，该构形还给出 NEEQ=NRRP\dfrac{NE}{EQ}=\dfrac{NR}{RP}，而直线 ABAB 上这一比例相等（由平行线分线段成比例定理的逆定理，作用于 △APN\triangle APN）正是 M′R∥ACM'R\parallel AC 的条件。