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第5题

求所有函数 f:R+→R+f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+，使得对所有正实数 x,y,zx,y,z 都有 (z+1)f(x+y)=f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x)(z+1)f(x+y)=f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x)。
第 1/8 步：ff 无上界
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x=y=1:2f(f(z)+1)=(z+1)f(2)x=y=1:\quad 2f(f(z)+1)=(z+1)f(2)
详细分析

恒等函数 f(x)=xf(x)=x显然满足此方程。对一般解 ff，令 x=y=1x=y=1 得对所有 z>0z>0 有 2f(f(z)+1)=(z+1)f(2)2f(f(z)+1)=(z+1)f(2)。当 zz 取遍所有正实数时右边无界，故 ff 无上界。