第5题

求所有函数

f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+

，使得对所有正实数

x,y,z

都有

(z+1)f(x+y)=f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x)

。

第 3/8 步：等和之间的可加性

上一步下一步

a+b=c+d \implies f(a)+f(b)=f(c)+f(d)

详细分析

给定 $a,b,c,d>0$ 满足 $a+b=c+d$ ，由 $f$ 无界，可取 $e$ 使 $f(e)$ 大于 $1,a/b,b/a,c/d,d/c$ 。对 $(a,b)$ 与 $(c,d)$ 应用引理（取 $c=f(e)$ ）得到 $u,v,w,t>0$ 满足 $f(e)u+v=a$ ， $u+f(e)v=b$ ， $f(e)w+t=c$ ， $w+f(e)t=d$ ，并可验证 $u+v=w+t$ ，因为 $(u+v)(f(e)+1)=a+b$ 且 $(w+t)(f(e)+1)=c+d$ 。代入 $x=u,y=v,z=e$ 到函数方程得 $f(a)+f(b)=(e+1)f(u+v)$ ；同理 $f(c)+f(d)=(e+1)f(w+t)$ ，断言随之成立。