第5题

求所有函数

f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+

，使得对所有正实数

x,y,z

都有

(z+1)f(x+y)=f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x)

。

第 4/8 步：推出

yf(x)=f(xf(y))

上一步下一步

(y+1)f(x)=f\!\left(\tfrac{x}2f(y)+\tfrac x2\right)+f\!\left(\tfrac{x}2f(y)+\tfrac x2\right)=f(xf(y))+f(x) \implies yf(x)=f(xf(y))

详细分析

在函数方程中代入 $x=y=\tfrac x2$ ， $z=y$ ，得到 $(y+1)f(x)$ 等于同一项 $f(\tfrac x2f(y)+\tfrac x2)$ 的两倍。这两个自变量之和等于 $xf(y)+x$ ，也等于把 $xf(y)+x$ 拆成 $xf(y)$ 与 $x$ 两项之和；由等和可加性（第3步），该项的两倍等于 $f(xf(y))+f(x)$ 。因此 $(y+1)f(x)=f(xf(y))+f(x)$ ，从而对所有 $x,y>0$ 有 $yf(x)=f(xf(y))$ 。