第5题

求所有函数

f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+

，使得对所有正实数

x,y,z

都有

(z+1)f(x+y)=f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x)

。

第 5/8 步：证明

f(1)=1

上一步下一步

a:=f(1/f(1)):\quad f(a)=1,\ \ af(a)=f(af(a))=1 \implies a=1 \implies f(1)=1

详细分析

设 $a=f(1/f(1))$ 。在 $yf(x)=f(xf(y))$ 中代入 $x=1$ ， $y=1/f(1)$ 得 $f(a)=1$ 。由 $f(a)=1$ 显然有 $a=af(a)$ 且 $f(af(a))=f(a)=1$ ；而关系式 $yf(x)=f(xf(y))$ 在 $x=y=a$ 处给出 $af(a)=f(af(a))$ ，故 $a=f(af(a))=1$ 。由 $f(a)=1$ 且 $a=1$ ，即得 $f(1)=1$ 。