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第5题

求所有函数 f:R+→R+f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+，使得对所有正实数 x,y,zx,y,z 都有 (z+1)f(x+y)=f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x)(z+1)f(x+y)=f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x)。
第 7/8 步：确定可加常数
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f(x+y)=f(x)+f(y)+b,b=f(2)−2f(1)=f(2)−2,4+2b=2f(2)=f(f(2)+f(2))=f(f(2))+f(f(2))+b=4+b  ⟹  b=0f(x+y)=f(x)+f(y)+b,\quad b=f(2)-2f(1)=f(2)-2,\quad 4+2b=2f(2)=f(f(2)+f(2))=f(f(2))+f(f(2))+b=4+b \implies b=0
详细分析

两次运用等和可加性，得 f(x+y)+f(1)=f(x)+f(y+1)f(x+y)+f(1)=f(x)+f(y+1) 与 f(y+1)+f(1)=f(y)+f(2)f(y+1)+f(1)=f(y)+f(2)；结合起来对所有 x,y>0x,y>0 得 f(x+y)=f(x)+f(y)+bf(x+y)=f(x)+f(y)+b，其中 b=f(2)−2f(1)=f(2)−2b=f(2)-2f(1)=f(2)-2。利用 yf(x)=f(xf(y))yf(x)=f(xf(y))、对合关系 f(f(y))=yf(f(y))=y，以及此可加关系在 x=y=2x=y=2 处的取值，可算得 4+2b=2f(2)=f(2f(2))=f(f(2)+f(2))=f(f(2))+f(f(2))+b=4+b4+2b=2f(2)=f(2f(2))=f(f(2)+f(2))=f(f(2))+f(f(2))+b=4+b，从而迫使 b=0b=0。