第5题

求所有函数

f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+

，使得对所有正实数

x,y,z

都有

(z+1)f(x+y)=f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x)

。

第 8/8 步：得出

f(x)=x

上一步下一步

f(x+y)=f(x)+f(y) \implies f \text{ strictly increasing},\quad f(x)>x \text{ or } f(x)<x \text{ both impossible} \implies f(x)=x

详细分析

由 $b=0$ ，对所有正数 $x,y$ 有 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ ，故 $f$ 严格递增。若对某个 $x$ 有 $f(x)>x$ ，利用 $f$ 的严格递增与对合性质得 $f(f(x))>f(x)$ ，即 $x>f(x)$ ，与 $f(x)>x$ 矛盾；同理 $f(x)<x$ 也不可能。因此对所有正实数 $x$ 都有 $f(x)=x$ 。