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第1题

称一个整数 55 元组是「arrangeable」的，如果它的元素可以按某种顺序标记为 a,b,c,d,ea,b,c,d,e，使得 a−b+c−d+e=29a-b+c-d+e=29。确定所有整数 20172017 元组 n1,n2,…,n2017n_1,n_2,\ldots,n_{2017}，使得若将它们按顺时针顺序排在一个圆周上，则圆周上任意连续位置的 55 元组都是 arrangeable 的。
第 2/4 步：奇偶性以 55 为周期，因而恒定
上一步下一步
mi−mi+1+mi+2+mi+3−mi+4≡mi+mi+1+mi+2+mi+3+mi+4(mod2)  ⟹  mi≡mi+5(mod2)m_i-m_{i+1}+m_{i+2}+m_{i+3}-m_{i+4}\equiv m_i+m_{i+1}+m_{i+2}+m_{i+3}+m_{i+4}\pmod2 \implies m_i\equiv m_{i+5}\pmod2
详细分析

将 arrangeable 条件模 22 化简（此时符号不再重要），任意连续 55 个 mim_i 满足 mi+mi+1+mi+2+mi+3+mi+4≡0(mod2)m_i+m_{i+1}+m_{i+2}+m_{i+3}+m_{i+4}\equiv0\pmod2。比较从 ii 开始的窗口与从 i+1i+1 开始的窗口即得对所有 ii 有 mi≡mi+5(mod2)m_i\equiv m_{i+5}\pmod2。由于 gcd⁡(5,2017)=1\gcd(5,2017)=1，反复以步长 55 前进会遍历全部 20172017 个下标，故所有 mim_i 具有相同的奇偶性。