亚太数学奥林匹克 · 2017年

试题

第1题称一个整数 $5$ 元组是「arrangeable」的，如果它的元素可以按某种顺序标记为 $a,b,c,d,e$ ，使得 $a-b+c-d+e=29$ 。确定所有整数 $2017$ 元组 $n_1,n_2,\ldots,n_{2017}$ ，使得若将它们按顺时针顺序排在一个圆周上，则圆周上任意连续位置的 $5$ 元组都是 arrangeable 的。解法: 1
第2题设三角形 $ABC$ 满足 $AB<AC$ 。设 $D$ 为 $\angle BAC$ 的内角平分线与三角形 $ABC$ 外接圆的交点。设 $Z$ 为 $AC$ 的垂直平分线与 $\angle BAC$ 的外角平分线的交点。证明线段 $AB$ 的中点落在三角形 $ADZ$ 的外接圆上。解法: 1
第3题设 $A(n)$ 表示满足 $a_1+\cdots+a_k=n$ 且每个 $a_i+1$ （ $i=1,2,\ldots,k$ ）都是二的幂的正整数数列 $a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_k$ 的个数。设 $B(n)$ 表示满足 $b_1+\cdots+b_m=n$ 且每个不等式 $b_j\ge2b_{j+1}$ （ $j=1,2,\ldots,m-1$ ）都成立的正整数数列 $b_1\ge b_2\ge\cdots\ge b_m$ 的个数。证明对每个正整数 $n$ 都有 $A(n)=B(n)$ 。解法: 1
第4题称有理数 $r$ 为「powerful」的，如果对某互素正整数 $p,q$ 及某整数 $k>1$ ， $r$ 可写成 $\dfrac{p^k}{q}$ 的形式。设 $a,b,c$ 是满足 $abc=1$ 的正有理数。假设存在正整数 $x,y,z$ 使得 $a^x+b^y+c^z$ 是整数。证明 $a,b,c$ 都是 powerful 的。解法: 1
第5题设 $n$ 为正整数。一对整数分量的 $n$ 元组 $(a_1,\ldots,a_n)$ 与 $(b_1,\ldots,b_n)$ 称为「exquisite」的，如果 $|a_1b_1+\cdots+a_nb_n|\le1$ 。求整数分量的互不相同的 $n$ 元组的最大个数，使得其中任意两个都构成一个 exquisite 对。解法: 1