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第1题

称一个整数 55 元组是「arrangeable」的，如果它的元素可以按某种顺序标记为 a,b,c,d,ea,b,c,d,e，使得 a−b+c−d+e=29a-b+c-d+e=29。确定所有整数 20172017 元组 n1,n2,…,n2017n_1,n_2,\ldots,n_{2017}，使得若将它们按顺时针顺序排在一个圆周上，则圆周上任意连续位置的 55 元组都是 arrangeable 的。
第 3/4 步：共同的奇偶性为偶
上一步下一步
m1+m2+m3+m4+m5≡0(mod2)  ⟹  common parity is evenm_1+m_2+m_3+m_4+m_5\equiv0\pmod2 \implies \text{common parity is even}
详细分析

任意连续五个 mim_i 之和模 22 为偶，特别地 m1+m2+m3+m4+m5≡0(mod2)m_1+m_2+m_3+m_4+m_5\equiv0\pmod2。由于所有 mim_i 共享同一奇偶性，具有该奇偶性的五项之和为偶，当且仅当这个共同奇偶性本身为偶。因此所有 mim_i 均为偶数。